Häufigkeitsanalyse nach der Gumbel-Methode: Prinzip und Schritte
In diesem Artikel erfahren Sie mehr über die Prinzipien und Schritte der Frequenzanalyse nach der Gumbel-Methode.
Prinzip der Frequenzanalyse:
Das allgemeine Prinzip der Frequenzanalyse kann wie folgt angegeben werden:
Als einfache Methode können Häufigkeiten (oder Wahrscheinlichkeiten) P (X ≥ x) der beobachteten Flutspitzen berechnet werden. Die Kurve der Wahrscheinlichkeiten gegen die Flutspitzen (f V s . X) wird dann auf logarithmischem Wahrscheinlichkeitspapier aufgetragen und eine glatte Kurve wird eingefügt, die alle Punkte abdeckt. Durch Extrapolation der Kurve konnten extreme Werte erhalten werden.
Da die beobachteten Daten normalerweise kurz sind, stellen sie möglicherweise nicht die Grundgesamtheit dar. Daher können wir uns nicht vollständig auf die aus den beobachteten Daten erhaltene Kurve verlassen.
In Anbetracht dessen, dass aufgezeichnete Daten eine Zufallsstichprobe ihrer Elternpopulation darstellen, könnte eine theoretische Häufigkeitsverteilung angepasst werden, die für die Daten geeignet ist.
Sobald die Verteilung ordnungsgemäß an die beobachteten Daten angepasst ist, kann eine Extrapolation zur Berechnung der erforderlichen Wahrscheinlichkeiten problemlos durchgeführt werden.
Die Gumbel-Methode der Frequenzanalyse basiert auf der Verteilung von Extremwerten und verwendet Frequenzfaktoren, die für die theoretische Verteilung entwickelt wurden. Das Verfahren verwendet eine allgemeine Gleichung, die für die Analyse der hydrologischen Frequenz angegeben ist, die nachstehend angegeben ist.
x = x + ∆x… (0)
Wobei x die Flutstärke einer bestimmten Wahrscheinlichkeit (P) oder Rückkehrperiode ist (7)
x ist der Mittelwert der aufgezeichneten Fluten
∆x ist Abweichung vom Mittelwert.
∆x hängt von den Dispersionseigenschaften, dem Wiederholungsintervall (T) und anderen statistischen Parametern ab. Es kann als ausgedrückt werden
X = SK
wobei S die Standardabweichung der Probe und K der Frequenzfaktor ist. Die obige Gleichung (i) kann als ausgedrückt werden
x = x + KS
Tabelle 5.6 gibt theoretisch abgeleitete Werte des Frequenzfaktors für verschiedene Stichprobengrößen und Rücklaufzeiten an.
Schritte zur Frequenzanalyse:
Die Frequenzanalyse nach der Gumbel-Methode umfasst folgende Schritte:
(i) Auflistung und Anordnung der jährlichen Überschwemmungen (x) in absteigender Größenordnung.
(ii) Weisen Sie den Rang "m" zu, m = 1 für den höchsten Wert usw.
(iii) Berechnen Sie die Rückkehrperiode (T) und / oder die Überschreitungswahrscheinlichkeit (P) durch die Gleichungen n + 1 / m und m / n + 1. Diese Werte ergeben zusammen mit der jeweiligen Flutstärke Plottierungspositionen.
(iv) Berechnen Sie unter Verwendung der Tabellenform x 2 und tabx und Ex 2 .
(v) Berechne nun den Mittelwert x; quadrierter Mittelwert x 2 ; Mittelwert der Quadrate x 2 und Standardabweichung S.
(vi) Aus der Tabelle 5.6 der Frequenzfaktoren für die Gumbel-Methode lesen Sie, ob die Werte für die gewünschten Wiederkehrperioden (7) und die verfügbare Stichprobengröße angegeben sind.
(vii) Berechnen Sie unter Verwendung der Beziehung x = x + KS Flutwerte für verschiedene Rückkehrperioden.
(viii) Unter Verwendung des Extremwert-Wahrscheinlichkeitspapiers werden die x-Werte gegen die jeweiligen Rückkehrperioden oder P-Werte aufgetragen und die Punkte verbunden, um die erforderliche Frequenzkurve zu erhalten.
Problem:
Die jährliche Hochwasserserie für einen Fluss ist seit 21 Jahren verfügbar. Die beobachteten Flutspitzen sind unten angegeben. Berechnen Sie die 100-Jahres-Flut mit der Methode von Gumbel und zeichnen Sie die unter Verwendung des Frequenzfaktors erhaltene theoretische Frequenzkurve auf, und vergleichen Sie sie mit der Frequenzkurve der beobachteten Daten.
Lösung:
Nach den oben genannten Schritten können die Flutdaten in Tabelle 5.7 in absteigender Reihenfolge angeordnet werden. Rang kann wie in Spalte 3 angegeben zugewiesen werden, und T, P (X> x) und xP werden in den folgenden Spalten berechnet.
Nun können unter Verwendung der Gleichung x = x + KS und unter Verwendung von Werten von x und S von oben und unterschiedlichen K- und T-Werten aus Tabelle 5.6 Flutflüsse (dh x-Werte) verschiedener Rückkehrperioden wie in Tabelle 5.8 gezeigt berechnet werden.
Aus Tabelle 5.8 ergibt sich eine Flut von 100 Jahren zu 23.397, also 23400 cumec. Unter Verwendung des Extremwertwahrscheinlichkeitspapiers (Abb. 5.9) werden Flut (x-Werte) der Flüsse der Spalte 6 aus Tabelle 5.8 gegen die Rückgabeperiode (T) der Spalte 1 derselben Tabelle aufgetragen. Die aufgezeichneten Punkte werden verbunden, um eine gerade Linie zu erhalten, die in Abb. 5.9 gezeigt wird.
Um die Anpassung dieser Linie mit den beobachteten Daten zu vergleichen, werden in derselben Grafik (x-Werte) die beobachteten Flutflüsse aus Spalte 2 der Tabelle 5.7 gegen die Werte für die Rückführungsperiode (T) aus Spalte 4 der gleichen Tabelle dargestellt. Es ist ersichtlich, dass die beobachteten Daten insgesamt zufriedenstellend zu der Frequenzkurve passen. Daher ist die ausgewählte Verteilung zufriedenstellend.
