Berechnung der Standardabweichung des Projekts

Nach dem Lesen dieses Artikels erfahren Sie mehr über die Berechnung der Standardabweichung des Projekts.

In PERT werden die drei Zeitschätzungen verwendet, um die erwartete Zeit für den Abschluss einer Aktivität zu ermitteln. Anschließend ermitteln wir anhand des Prozesses der Standardabweichung und -varianz die Wahrscheinlichkeit, dass die Gesamtprojektdauer aller Aktivitäten abgeschlossen wird und somit das Projekt. PERT folgt der Beta-Verteilungskurve, um die Standardabweichung zu ermitteln, die ein Sechstel des Bereichs ist.

Die Schritte zur Berechnung der Standardabweichung der Gesamtprojektdauer umfassen:

(a) Finden Sie den kritischen Pfad mit Zeitschätzungen und identifizieren Sie dann die Aktivitäten auf dem kritischen Pfad.

(b) Standardabweichung pro Aktivität (verwendetes Symbol S _t ):

_St = tp - _to / 6

(Dies ist ein Sechstel des geschätzten Zeitbereichs und der Zeitraum der geschätzten Zeit ist der Unterschied zwischen optimistischen und pessimistischen Zeitschätzungen).

(d) Bestimmen Sie die Standardabweichung der Gesamtdauer des Projekts als SD = √Summe aller V ' _t (die Gesamtzahl t _e -s für alle Ereignisse auf dem kritischen Pfad).

Abbildung 1 (über Wahrscheinlichkeit in PERT):

Bevor wir fortfahren, können wir mit der Arbeit beginnen, indem wir der gleichen Tabelle wie in der nachstehenden Tabelle folgen und die obigen Formeln verwenden:

CP steht für Aktivität auf kritischem Pfad:

1. Projektdauer erwartet E = 5 + 15 + 4 + 5 = 29 Tage (dh die Gesamtzahl der Aktivitäten für Aktivitäten auf dem kritischen Pfad).

2. Varianz des kritischen Pfades = 2, 79 + 2, 79 + 0, 45 + 0 = 6, 03

3. Die Standardabweichung (SD) der Projektdauer beträgt √ 6, 03 = 2, 46.

Wir haben zuvor gesehen, dass t die Wahrscheinlichkeit von 0-5 hat, und diese Wahrscheinlichkeit gilt sogar für eine kumulative Situation, bis wir das Endereignis erreichen. Dies gilt auch dann, wenn wir die T _e-s aller vorhergehenden Ereignisse akkumulieren und die Wahrscheinlichkeit für die kumulative Zeit wie für dieses Ereignis immer noch mit 0, 5 angeben können. Wenn wir die als TE erwartete Projektdauer sagen, betrachten wir _TE als den Mittelwert der Verteilung mit einer Wahrscheinlichkeit von 0-5.

Aus den oben berechneten Details schlägt PERT vor, die Abweichungen vom Mittelwert der Verteilung in Einheiten der Standardabweichung zu ermitteln und die Wahrscheinlichkeit aus der Normalverteilungstabelle zu lesen.

Wenn wir die Wahrscheinlichkeit eines geplanten Zieldatums Ts ermitteln möchten, ermittelt PERT die TE und SD wie bereits erläutert und ermittelt dann, wie stark Ts von der mittleren Verteilung (TE) in Einheiten der Standardabweichung abweicht ( SD). Wir haben bereits Ts und SD der illustrierten Projektion auf der Tabelle ausgearbeitet.

Nach dem PERT können wir Fragen beantworten wie:

(a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Projekt nach (1) 29 Tagen, (2) 32 Tagen, (3) 27 Tagen abgeschlossen wird?

(b) In wie vielen Tagen kann das Projekt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% abgeschlossen werden?

Folgende Schritte sind zu unternehmen:

Schritt 1.

Berechnen Sie die erwartete Zeit t pro Aktivität nach der Formel t _{e =} to ₊ 4 t _{m +} t _p / 6

Zeichnen Sie mit dem berechneten t _e das Netzwerk und ermitteln Sie den kritischen Pfad und die erwartete Projektdauer T _E.

Schritt 2.

Berechnen Sie (a) die Standardabweichung pro Aktivität, die ein Sechstel des Bereichs der geschätzten Zeit darstellt, dh _St = tp - to / 6 und dann

(b) Varianz pro kritischer Aktivität, dh _St2 = (tp - to / 6) ²

(c) und die Standardabweichung des Projekts, SD, die Quadratwurzel der Summe der Varianzen aller kritischen Aktivitäten: SD = √Summe von S _t ² der kritischen Aktivitäten. (SD = 2, 46 in der obigen Abbildung).

Schritt 3;

Berechnen Sie die Abweichung des geplanten Datums T _s vom Mittelwert der Verteilung, dh die TE in Einheiten von SD. Der Wert dieser Abweichung ist Z und die zu berechnende Formel lautet: Z = T _S -T _E / SD.

Schritt 4:

Aus dem Wert von Z und der Konsultation der Normalverteilungstabelle (die im späteren Teil dieses Kapitels in 6.1.03 teilweise zitiert wurde) finden wir einen anderen Wert, den wir mit 0-5 (dem Mittelwert der Verteilung) anpassen müssen, und ermitteln den Wahrscheinlichkeit von T _s .

Schritt 5:

Die Einstellung mit 0-5 hängt von der Zeitdauer für Ts und für Te ab. Wenn T _s > T _{E ist, ist} die Wahrscheinlichkeit offensichtlich größer als 0-5; daher addieren wir den aus der Normalverteilungstabelle ausgelesenen Wert, und wenn TE> Ts ist, müssen wir von 0-5 abziehen.

Antworten auf Fragen:

1. a-1) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Projekt nach 29 Tagen abgeschlossen ist, wenn Ts 29 Tage beträgt?

Z = T _S -T _E / SD = 29-29 / 2, 46 = 0, der Wert aus der Normalverteilungstabelle für 0 ist Null.

Daher ist die Abschlusswahrscheinlichkeit des Projekts um 29 Tage = 0, 5 + 0 = 0, 5, dh 50%.

2. a-2) Wenn Ts 32 Tage beträgt

Z = Ts- _E / SD = 32-29 / 2, 46 = 1, 22; Der Wert aus der Normalverteilungstabelle für 1.22 beträgt 0, 39.

T _s ist größer als T _E, daher ist die Wahrscheinlichkeit 0-50 + 0-39 = 0-89 oder 89% (oder die Wahrscheinlichkeit, dass das Datum nicht eingehalten wird, ist 100 - 89 = 11%)

3. a-3) Wenn Ts 27 Tage beträgt

Z = Ts- _E / SD = 27-29 / 2, 46 = - 0, 81; der Wert gegen 0, 81 aus der Normalverteilungstabelle 0, 29. T ₅ ist kleiner als T _E, daher beträgt die Wahrscheinlichkeit 0-50 - 0-29 = -21 oder 21%.

(b) In wie vielen Tagen kann das Projekt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% (oder mit einem Konfidenzniveau von 95%) abgeschlossen werden?

Wir nehmen an, T _s ist die unbekannte Anzahl von Tagen, und da die Wahrscheinlichkeit mehr als 0–50 beträgt (dh mehr als 50%), muss T _s größer als T _{E sein} (in Tagen) und der Wert pro Tabelle beträgt 0, 95 - 0, 50 = 0, 45. Aus der Tabelle können wir auch entnehmen, dass wir 0-45 erhalten können, wenn der Wert von Z 1, 65 (0, 4505) ist.

Ts - 29

Nun finden wir die Gleichung Z = Ts -29 / 2, 46 = 1, 65

oder T _s = 29 + 2, 46 x 1, 65 = 33 Tage.

Wir können mit 95% iger Sicherheit sagen, dass das Projekt in 33 Tagen abgeschlossen sein wird.

Abbildung 2 zur Wahrscheinlichkeit nach PERT :

Die folgende Tabelle zeigt die Aktivitäten eines Projekts mit geschätzter optimistischer, wahrscheinlichster und pessimistischer Dauer (in Tagen):

Aus den Angaben gemäß obiger Tabelle sollen wir:

(a) Zeichnen Sie das Projektnetzwerk.

(b) den kritischen Pfad finden;

(d) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit des Abschlusses des Projekts (dem kritischen Pfad folgend) in 41 Tagen.

Schritt 1: Berechnen Sie die geschätzte Zeit t pro Aktivität gemäß PERT:

Netzwerkaufbau mit t _e -s und dem kritischen Pfad.

Beantworten Sie die Fragen (c) und (b).

Legende (Netzwerk):

Legenden (2) Der kritische Pfad, der mit zweizeiligen Pfeilen an den Ereignissen angezeigt wird und EST = LFT zeigt.

(3) Der kritische Pfad repräsentiert die Aktivitäten A, C, G und I.

(4) Projektdauer, T _E beträgt 36 Tage.

Schritt 2. Berechnungen der

(a) Standardabweichung der Aktivitätsdauer, _St = tp - _to / 6;

(b) Abweichung der Aktivitäten S, ² auf dem kritischen Pfad; Summe der Abweichungen des kritischen Pfades = 25.

Antwort auf Frage (c).

Standardabweichung der Projektdauer (Bild machen)

SD = √Gesamtsvarianz aller kritischen Aktivitäten

= √25

= 5

Schritt 3:

Abweichung vom Termin ist Ts (die als 41 Tage angegeben ist) in Einheiten von SD Z und

Z = Ts- _E / SD

Oder

Z = 41-36 / 5 = 1

Schritt 4:

Die Normalverteilungstabelle zeigt den Wert für 1 als 0-3413. Wir kennen TE von 36 Tagen als Wahrscheinlichkeit 0, 5. Ts von 41 Tagen ist größer als TE, wir müssen 0, 3413 mit 0, 5 addieren und die Wahrscheinlichkeit von 41 Tagen als 0, 50 + 0, 34 = 0, 84 oder 84% finden.

Abbildung 3: (zur Wahrscheinlichkeit nach PERT):

Es folgt eine Tabelle mit Aktivitäten eines Projekts mit geschätzter optimistischer, wahrscheinlichster und pessimistischer Dauer in Wochen:

In Anbetracht der obigen Details müssen wir :

(a) Zeichnen Sie das Projektnetzwerk.

(b) Identifizieren Sie den kritischen Pfad im Netzwerk.

(d) Ermitteln Sie die geschätzten Abschlusswochen mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%.

Schritt 1:

Berechnen der geschätzten Zeit te pro Aktivität gemäß PERT:

. ^. . Standardabweichung SD = √6.83 = 2.61

Mit den obigen t _e-s und den Aktivitäten mit dem vorausgehenden Zusammenhang von Ereignissen möchten wir den Netzwerkaufbau vorbereiten und dann finden wir:

1. ESTs der Ereignisse, beginnend mit Ereignis (1) als Null-EST, dann Befolgung der Vorwärtsdurchlaufregel unter Berücksichtigung des längsten EST, wenn zwei oder mehr Aktivitäten zu einem Ereignis konvergieren, bis wir zum letzten Ereignis gelangen.

2. LFTs der Ereignisse, beginnend mit dem letzten Ereignis, wobei das letzte Ereignis LFT dem EST entspricht. Folgen Sie dann dem "Rückwärtsdurchlauf" und finden Sie die LFT des Tail-Ereignisses (als LFT des Kopfereignisses, weniger t _ij ) und in Anbetracht der kürzesten Zeiteinheiten, wenn zwei oder mehr Aktivitäten von einem Ereignis ausgehen.

Lösung für Frage (a) und (b) Zeichnen des Projektnetzwerks und Ermitteln des kritischen Pfads:

Rekapitulation von Zeitelementen beim Netzwerkaufbau:

(1) EST für Ereignis 4: Aktivitäten C, E und H konvergieren für 0 + 9 = 9 Wochen mit C, E für 7 + 9 = 16 Wochen und H für 8 + 7 = 15 Wochen. Daher nehmen wir den höchsten Wert, dh 16.

(2) LFT für Ereignis 2: Die Aktivitäten E und F stammen von Ereignis 4 zurück, die LFT für 2 ist 16 - 9 = 7 und ab Ereignis 6 ist die LFT für 2 23, 5 - 5 = 18, 5. Daher nehmen wir den niedrigsten Wert, dh 7.

Wir stellen fest, dass die Ereignisse 1, 2, 4, 5, 6 und 7 EST = LFT haben und somit kritische Ereignisse sind und die im Netzwerk dargestellten Pfeile mit zwei Linien den kritischen Pfad mit den Aktivitäten A, E, I, darstellen. J und L; Die Gesamtdauer des Projekts betrug 28 Wochen, dh T _E beträgt 28 Wochen.

Lösung für Frage (c) zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeit, dass das Projekt in 32 Wochen abgeschlossen wird.

Schritt 2:

Berechnungen der Dauer:

(a) Standardabweichung der Aktivitätsdauer S _t = t _{p -} t _o / 6 auf dem mit CP markierten kritischen Pfad.

(b) Summe der Abweichungen auf dem kritischen Pfad = 6-83

Schritt 3:

Abweichung des geplanten Datums T _s (das ist 32 Wochen), in Einheiten von SD ist Z und der Wert von:

Z = Ts- _E / SD = 32 - 28 / 2, 61 ₌ 1, 53

Wert von 1-53 pro Normalverteilungstabelle = 0-4370 = 0-44 (ungefähr).

Schritt 4:

Wir müssen 0-44 mit 0-5 addieren; da 32 tage mehr als die mittlere projektdauer von 28 wochen sind, müssen wir also 0, 50 + 0, 44 = 0, 94 addieren.

. ^. . Die Wahrscheinlichkeit, das Projekt nach 32 Tagen abzuschließen, beträgt 94%.

Lösung zu Frage (d):

Ermitteln Sie die Projektdauer mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%. Ts ist der unbekannte Projektzeitplan, er ist mehr als TE, da die Wahrscheinlichkeit von 90% größer ist als die Wahrscheinlichkeit von 50%. Der mit 0, 50 einzustellende Wert beträgt 0, 90 - 0, 50 = 0, 40. In der Normalverteilungstabelle finden wir den entsprechenden Wert von 0, 40: 1, 28. Mit anderen Worten ist der Wert von Z 1, 28.

Daher sind die bekannten Werte Z = TS- _E / SD = TS -28 / 2, 61 = 1, 28.

oder T _s = 28 + 2, 61 x 1, 28

= 28 + 3, 34

= 31, 34 Wochen.

Wir können mit 90% Sicherheit sagen, dass das Projekt in 31-34 Wochen abgeschlossen werden kann.

Zusammenfassung Hinweis:

Wir finden, dass die Techniken, die in CPM und in PERT verwendet werden, fast identisch sind, mit der Ausnahme, dass:

1. PERT schlägt eine breitere Schätzung der Aktivitätsdauer vor, die von Optimismus bis Pessimismus reicht. und

2. PERT dient dazu, die Wahrscheinlichkeit (nach der statistischen Theorie) der ausgearbeiteten Projektdauer herauszufinden.

Es ist erwähnenswert, hier zu erwähnen, dass sich unter Berücksichtigung zu vieler Annahmen der Zeitschätzungen Fehler in solchen Annahmen in einem Aufbereitungsprozess ansammeln können, der nach Einschätzung des Managementexperten sogar bis zu 33 Prozent betragen kann.